2017年东北石油大学数学与统计学院826高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1
部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
，其中L 是圆柱面
与平面
的
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，
是所围的圆域。 2． 设
【答案】因为
所以因为
所以因为
所以因为
所以
3． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知圆柱形油罐的表面积
令由
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
，求
, 即
此时, 即:, 所以当底半径为和高时, 才能使表面
积最小。这时底直径与高的比为1:1。 4． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同
.
图
5． 计算以xoy 面上的圆周柱体的体积.
【答案】如图所示，设
由于曲顶柱体关于zox 面对称，故
围成的闭区域为底，而以曲面:
为顶的曲顶
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