当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设个元素

试证：（1）V 到是一个同构映射； （2）对V 的每组基

有V 的惟一的一组基

（3）如果V 是复数域上n 维线性空间，则有一组基

【答案】（1）由于f 是双线性的，是V

上线性函数即

证是线性映射.

令

则

故同样地

即有

由于V 及取V 的一组基

故是V 到的线性映射.

都是n 维线性空间，又是线性映射，若再能证

使f 的度量矩阵是对角阵

再由f 非退化，

皆不为零. 这组基在

中的对应元为

若有

第 2 页，共 36 页

是n 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，对V 中一个元素定义中一

的映射

使

使

令

是双射，它就是同构.

于是

由由于

得

即是线性无关的，因而是的基.

故又

若

是满射.

即

这说明

是单射，因而是双射.

的同构.

是它在

使得是

的基，则

则

即

中的对偶基，

由是

于

是

当然

有

这就证明了是线性空间（2）对V 的一' 组基V 到

的同构，令由于也是V

的基.

（3）取V 的一组基

是同构及

使f 的度量矩阵是对角矩阵

又f 在V 上非退化，所有令

皆不为零. 由

则

这时恰好

2． 设

求

【答案】由A 的特征多项式

故

是A 的零化多项式. 作带佘除法，得

第 3 页，共 36 页

故

由

于是

3． 设A ，B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量组AX=0和BX=0分别有1，m 个线性无关的解向量，这里

（2）如果l+m>n, 那么（A+B）X=0必有非零解；

（3）如果AX=0和BX=0无公共的非零解向量，且l+m=n, 那么表示成

这里

，分别是AX=0和BX=0的解向量. ）

而

因此齐次方

则

据题设，

又

4． 用

所

表示将行列式D 的第i 行

从而有换成

所证结论成立.

（其余行不变）后所得的

所以

【答案】（1）由题设，

（2）因

所以

中任一向量

郎可惟一地

所构成的矩阵. 已知齐次线性方程证明：

（1）方程组（AB ）X=0至少有max （1，m ）个线性无关的解向量；

所以另一方面，方程组（AB ）x=0有n-rank （AB ）个线性无关的解向量. 故所证结论成立. 程组（A+B）X=0必有非零解.

（3）设AX=0和BX=0的解空间分别为

与

的和是直和，故

行列式，其中

证明：【答案】用故

将D 的第j 列

又

表示

在D 中的代数余子式

元素都换成1后（从而第j , n 列相同）且按此列展开知

：

则

第 4 页，共 36 页