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一、计算题

1． 设

【答案】

2． 测得一组弹簧形变x （单位:cm ）和相应的外力y （单位:N ）数据如下:

表

由胡克定律知

试估计k , 并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.

，试证

.

.

【答案】k 的最小二乘估计为

的均值和方差分别为k 和从而又

，所以，其中

，且两者独立，从而有

因此的预测区间为

，其中

此处，由样本数据可计算得到

从而

而x=2.6cm相应的外力的预测值为

当

时，查表知

，故

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， ，

因而得到的预测区间为

3． 抽查克矽平治疗矽肺患者10名，得到他们治疗前后的血红蛋白量之差（单位:

2.7, -1.2, -1.0, 0, 0.7, 2.0, 3.7, -0.6, 0.8，-0.3， (1)作正态概率图，并作初步判断；

(2)请用W 检验判断治疗前后的血红蛋白量之差是否服从正态分布(【答案】(1)首先将数据排序，得到

对每一个计算修正频率

结果见表:利用软件可得到正态概率图如下:

血红蛋白量之差的概率图

置信区间

.

）如下:

) ？

图

图形显示10个点基本在一条直线附近. (2)W检验. 由数据可算得

建立如下表格从上表中可以计算出W 的值

:

当n=10时，查表知，拒绝域为，由于样本观测值没有落入拒绝域内，故在显著性水平上不拒绝原假设，即可以认为治疗前后的血红蛋白量之差服从正态分布.

4． （泊松大数定律）设为n 次独立试验中事件A 出现的次数，而事件A 在第i 次试验时出现的概率为

【答案】记

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，为计算方便，

则对任意的有

则

所以由切比雪夫不等式，对任意的

有

即

5． 一个保险公司有10000个汽车投保人，每个投保人平均索赔280元，标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.

【答案】记

为第i 个投保人的索赔额，

则

由林德伯格-莱维中心极限定理，所求概率为

6． 设随机变量序列

试证:【答案】这时立.

7． 设曲线函数形式为给出；若不能，说明理由.

【答案】不能. 此处a 是未知参数，即取后的v 无法观测.

8． 设二维离散随机变量（X ，Y ）的可能取值为

且取这些值的概率依次为

【答案】由题设条件知，（X ，Y ）的联合分布列为

表

1

, 这样的变换是行不通的，因为这样变换

独立同分布，数学期望、方差均存在，且

仍为独立同分布，且

由辛钦大数定律知结论成

，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试

试求X 与Y 各自的边际分布列.

在上面表格中按行相加，得X 的边际分布列；按列相加，得Y 的边际分布列:

表2

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