2018年厦门大学金融系396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知
的联合分布列如下:
试求: （1）已知
的条件下，X 的条件分布列，
（2）X 与Y 是否独立？ 【答案】（1）因为
所以在给定
的条件下，X 的条件分布列为
在给定
的条件下，X 的条件分布列为
（2）因为所以由
2． 设随机变量X 满足
【答案】由
，已知
及题设条件
得
从中解得
.
知X 与Y 不独立.
，试求.
3． 设总体
【答案】由于总体其均方误差为
是其样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相
下存在优于的估计.
，
现考虑形如
的估计类，
，所以
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
4． 设二维随机变量
（1）（2）
【答案】（1）因为又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
（2）利用
的对称性可得
所以
又因为
所以
由此得
的协方差矩阵为
的联合密度函数如下，试求
的协方差矩阵.
可分离变量，所以X 与Y 相互独立，由此知
5． 设随机变量
试求
【答案】因为
所以令
，则当
. 且
时，有
由此得u 的边际密度函数为
其中
又因为当0 的分布函数为 > 1. 6． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？ 【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数. 则 对X 而言，系统有效的概率为 对Y 而言，系统有效的概率为 根据题意，求满足下式的P : 与 相互独立同分布，其密度函数为 的分布. ， 即 上述不等式可简化为从而有 ，或 或
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