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一、计算题

1． 设

的渐近分布为

2． 在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为0.90的置信区间.

【答案】此处n=80较大，可用正态分布求其近似置信区间. 不合格品率的为

此处

因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为

3． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取

【答案】只是这里的原假设和备择假设分别为

拒绝域为

，当取

时，

，检验统计量

u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.

4． 设总体X 服从正态分布计量，考虑统计量:

求常数

与

使得

与

都是的无偏估计.

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是从二点分布抽取的样本，试求样本均值的渐近分布.

样本容量为20,

因而样本均值

【答案】二点分布的均值和方差分别为p 和

近似置信区间

，样本标准差s=2.6cm,

）？

为来自总体X 的样本，为了得到标准差的估

【答案】由期望的公式及对称性，我们只需要求出注意到

（为什么? ）和

则

我们只需要求出如下期望即可完成本题:设

和即可.

于是有

和

从而给出

5． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数.

则

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

，

即

上述不等式可简化为从而有

6． 设总体4阶中心矩

存在，则对样本方差

有

其中

为总体X 的方差.

并以简记从1到n 的求和，于是

由于诸

间相互独立，且

所以，

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，或

或

【答案】记

故

7． 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048, 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44，问这一天纤度的总体标准差是否正常（取

）？

【答案】这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

，查表知， 此处n=5, 若取显著性水平故拒绝域为

，由样本数据可计算得到

因此拒绝

，认为这一天纤度的总体标准差不正常.

8． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”, 则共有

种不同放法, 即

中放法,

；

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

二、证明题

9． 设X 为非负随机变量，a>0.

若

【答案】因为当a>0时

，

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存在，证明:对任意的x>0,

有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.