2018年天津医科大学应用统计(专业学位)432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，
，故
最优.
，
都是的无偏估计；
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
由于
，因此在均方误差意义下，
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
优于
（3）对形如的估计有，故
»
因此当在形如
2． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
对一切的
存在，
的费希尔信息量存在，若二阶导数
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
这就证明了
3． 若因为
所以有
，即得
.
4． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
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，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子 5．
设计.
【答案】由于
这就证明了
6． 设
【答案】一方面
另一方面
7． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
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相差一个常数因子，
，这两个常数因子的乘积为1.
证明
:
是的相合估
独立同分布
,
是的相合估计. ，证明:
且X 与Y 独立，
分布的特征函数，由唯一性定理知
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