2017年延安大学数学与计算机科学学院814数学分析与高等代数[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 利用单调有界原理证明确界原理.
【答案】
设是非空有上界的数集
，确界.
若无最大值，
任取
否则记左半区间为
得一区间套
侧不含的点.
由S 的上确界.
首先
，
于是在
有
若不然，
则存在
使得
因为的上界. 其次，
所以存在正整数
由
使得
的右侧含有中的点，矛盾，
故
是
知，当n
数列
将，然后将单调递增，
是的一个上界.
若
有最大值，
则最大值即为的上
如此下去，
的右
，往证为
二等分，
若右半区间含有的点，
则记右半区间为
二等分，用同样的方法选记单调递减，且
使得
，
中含有的点，在
单调递增有上界，
所以存在
.
即为的上确界. 充分大时有于是存在使得
2． 证明下列函数在指定区间上的单调性：
⑴⑵(3)
在在在
上严格递増；
上严格递增； 上严格递减.
那么，
即
故(2) 设
在
上严格递增.
那么，
由
可得
于是
递增.
(3)
则
所以
第 2 页，共 24 页
【答案】(1) 设
由此可得
即
故
在上严格
那么，
故
在
上严格递减.
证明：得到
令
则有b>a>0.于是
因此，
为递减数列，由此推出
于是
即
为有界数列.
为递减数列，
并由此推出
3．
利用不等式
为有界数列. 【答案】由不等式
二、解答题
4． 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
⑴（3）
【答案】（1）
上确界. 显然有是集合S 的一个上界. 对任意的
则
即（2）
，则
（3）
设a 不妨设a>0.由无理数的稠密性可知， 存在无理数是S 的上确界. 第 3 页，共 24 页 （2）为 内的无理数 （4） 和 这里只证明 是 取 S 的上、下确界分别为不妨设 月因此 ，是S 的上确界. 的上、下确界分别为 故S 无上界，即S 的上确界为 和1.1是S 的一个下界，并且 任何大于1的数都不是S 的下界，所以1是S 的最大下界，即1是S 的下确界. 对任意的M>0, 取 为 内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界. 于是 并且 因此，1 （4）的上确界为1，下确界为因为S 中的最小元素为所以是 存 S 的最大下界，即是S 的下确界. 由于在 5． 对幂级数一致收敛性. 【答案】(1) 记 使得 于是取 所以1是S 的一个上界，对任意的 且满足不等式 . 因此，1是S 的上确界. (1) 求其收敛域；(2) 求其和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的 因为 所以当时级数 发散，所以原级数的收敛域为(-1，1) . (2) (3) 取 则 于是 在(-1，1) 内不一致收敛于0，故该幂级数在收敛域内不一致收敛. 6． 求下列全微分的原函数： 【答案】(1) 因(2) 由于 第 4 页，共 24 页 时级数收敛，当时级数发散，故级数的收敛半径R=l，当x=±l 故原函数为