2018年山东大学金融研究院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设空间
为数域K 上n 阶满秩方阵, 其中
是齐次线性方程组【答案】因为A 满秩,
故
设今在
线性无关:设若
则
从而
故
2． 设向量组
即（1）线性无关. 但
维数是n , 故
则因为中各取一基
. 因此下证
（1）
的解空间
为A 的两个子块（按行分块）. 证明:n 元列
的直和.
解空间为
从而
的解空间是零子空间, 可知
,
的秩为则
，则该组中任意r 个向量线性无
个向
量
关的充要条件是：对于任
意
【答案】若不妨设
在将其改写为由已知条件知
因而
设代入式
若
或全为零，或全不为零.
全不为零，结论已真. 否则，必有一个数为零，
中任意r 个向量线性无关，故
令
线性无关.
全为零
.
中任取r 个向量，不妨记为
3． 用除求商与余式
【答案】用分离系数的竖式进行计算
所以
4． 设a , b 皆为交基.
【答案】设A 的全部不同的特征值
为
由于A 相似于对角形, 故有
由AB=BA
, 在变换,
于是在子空间因此其中即每个又于是当
与与时,
若
限制在
上仍是对称变换. 上有一组特征向量它们属于A 的特征子空间
都是A , B 的公共特征向量. 是属于A 的不同特征值, 故当
时互相正交. 又与
也正交.
这样
与
是相互正交的. 是
的标准正交基,
是相互正交的, 且
故它们组成
的标准正交基. 这就完成了证明.
实对称矩阵, 且互相交换, 则它们有公共的特征向量作为欧氏空间的标准正
中相应的特征子空间
是
都是B 的不变子空间.B 是实对称的,
. 这变换
在
的自然内积（Z , Y的内积为
）下是对称
中对应了线性变换
为的标准正交基,
当然也是A 的特征向量.
长度为1, 是标准正交向量组. 又这组元素的数目为
5． 设
（2）设
求
所以A
的特征值为
取基础解系
（1）求正交矩阵P 和对角阵D , 使
【答案】 （1
）因为
对于
将之正交化,
单位化得
解方程组
对于
解方程组
取基础解系
将其单位化得
令 （2）由
—般地,
于是
则P 是正交矩阵, D 是对角矩阵, 且
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