2018年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． （1）设
证明:如果其中
（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基项式
由于从而有
这样, 令则有同理可得
此说明所以由此可得又所以
即综上可得（2）设
可得A 的特征多项式
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为n 维线性空间V 的线性变换,
且
与
为的最小多项式. 互素, 则
下的矩阵为求的最小多
并对于的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.
使
互素, 所以存在多项式
【答案】（1）由题设
有
有
由于取由（1）知
显有两者互素.
无解, 所以A 的最小多项式
这里又
分别与如下齐次线性方程组
的解空间同构, 且Ⅰ与Ⅱ的一个基础解系分别为
所以有
2． 设
A , B分别为m 阶与n 阶方阵. 证明：
（1）
（2）
【答案】由以下两个等式两端取行列式即分别得（1），（2）:
3．
设A 与B 是数域P 上的n 级矩阵，
且
证明
：
【答案】因为
而AB=BA, 所以有
故有
即
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4． 设
A 是. 矩阵，且A 的行向量线性无关，B 是
如是
个向量.
是
矩有唯
阵，B 的列向量线性无关，且一解.
【答案】因为又
又的列
令 ，
所以
从而B 的列是
的解，则
的基础解系含的解.
，所以B
的列向量均为
的一个基础解系.
考虑的解
，所以
可由B
线性表示，并且表法唯一.
可得
即
5．
使
若
可逆
，且证明：
所以
可逆.
可逆
，并求
【答案】证法1因为令
因为
由式（1）得，
由式（2）得，
所以
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