2018年南昌航空大学数学与信息科学学院609数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
2． 证明:
【答案】
于是, 对于有界性定理知, 存在
故
3． 设
, 存在
, 使得当
时. 对, 有
. 在[—M , M]上, 由连续函数的
. 于是, 对于一切
为有界函数.
为可导函数. 证明:
, 使得当为有界函数.
, 证明
并利用这个结果求f （x ）: （1）
（2）
为元素的n 阶行列式
.
表示将
的第
【答案】令D （x ）表示以函数k 行换为
, 其余元素都不变的行列式. 根据行列式的定义
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由莱布尼茨公式和求和符号的交换性质有
（1
）
（2）
4． 设f 在
[a, b]上三阶可导
,
证明存在
【答案】令
则F （x ）, G （x
）在又因为
所以
在区间使得
上对函数
由
, 使得
上满足柯西中值定理的条件, 于是存在
, 使得
应用柯西中值定理可得, 存在,
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可得
因此
5． 用定义证明:（1）若
（2）若
, 则, 则
|.
【答案】（1）由固定,
当
时, 有
其中
, 上述
, 当
时, 有
从而
（2）令
, 则当
时,
于是
由（1）知, 上式的第二、三项趋向于零. 下证第四项极限也是零. 事实上, 由
知,
有界, 即存在M0, 使
故
从而（2）的极限是ab.
;
知
, , 当
时, 有
,
对固定的而言, 它是一个确定的常数. 故对