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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

【答案】B 【解析】

故

但当a=l时，

3． 二次型

是（ A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B

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.

）二次型

【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于

又由方法2:设

不妨设线性相关.

由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于AB=0, 所以有

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使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

并记A 各列依次为

由于AB=0可推得AB 的第一列

从而

考虑到即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有

R （A ）

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

二、分析计算题

6． 设n 阶方阵

【答案】只须证C 的特征值事实上，因为所以

如果c 存在非零特征值，不妨合并以上各式中相同的非零特征值得

因该方程组有非零解，故其系数行列式等于0, 即

且C 与A 、B 可交换，则C 为幂零阵。

全是0即可. 所以..

又因为

所以但互不相同，即

因此

由此得存在与假设矛盾.

所以从而C

为幂零阵.

7． 设A 为m ×n 矩阵，E 是n 阶单位方阵. 证明：

①XA=E（X 为nXm 未知矩阵）②由AB=AC

可得其中B ，C 都是n ×s 矩阵. 【答案】①设A 的行向量组为

E 的行向量组为，（均为几元行向量）

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（即