2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
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是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
则A 与B （ ）.
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
的解，则（ ）。
分别为A ，B 的伴随矩阵，
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
5． 设线性方程组
的解都是线性方程组
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【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
则
所以
二、分析计算题
6． 设数足
互异，又
【答案】考虑线性方程组
因其系数行列式D 是一个范德蒙德行列式且则
次数
互异，故
从而有唯一解，设为
为任意数. 证明：存在唯一的次数小于n 的多项式
满
又因为方程组解的唯一性，故此种多项式唯一.
7． 设S 是非零的反对称实矩阵，则
（1）
（2）设A 是正定阵，则【答案】（1）有正交阵T 使
于是
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