2017年海南师范大学数学与统计学院905高等数学[专业硕士]考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数列
函数(不要求一致有界) . 证明
：
【答案】
首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而
所以
同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数
当因此
时有
当
时有
令，
最后证明n>N时
，
有
于是当n>N时，
有
故
2． 求证：
(1) (2)
【答案】(1) 已知序列
严格递増，且
又设
显资
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在区间I 上一致收敛，且对每个n ，
在I 上必一致收敛.
都是I 上的有界
存在正整数
使得
故存在正整
在I 上一致有界. 由
，则
取正整数N ，使得当
有
在I 上一致收敛于f (x ) g (x ) .
再根据项的平均值不等式，有
联合
与式即得
(2) 记由第(1) 小题结论，有
再由第(1) 小题结论，有
即有下界，从而极限
3． 按定义证明下列极限：
(1) (4)
(2)
由
得
取
则当\>厘时，有
故
(2) 限制
则
只要取
则当
故(3)
对任意给定的
取
，由
它成立的一个充分条件是
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存在.
(3)
【答案】(1) 对任意给定的
时，有
于是，对任意给定的
得
则当|x|>M时有
故(4)
若限制0<2—x 对任给的 故 4． 设 取 b]上的连续函数列，为[a，且对任意 在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得 这里不妨设设 再由 由于在点 连续，且由于数列 有界，故必有收敛子列，不妨设该收敛子列为故存在正整数N ，使得 所以 由保号性，存在正整数K ，当k>K 时有所以当n>N时矛盾. 从而 5． 利用条件极值方法证明不等式 . 由 关于n 单调递增趋于f (x ) ， 在[a，b]上一致收敛于f (x ) . 且 有 证明：如果 对任意正整数k ， 则当 时，有 收敛于连续函数f (x ) ，则 【答案】假设 在[a, b]上必一致收敛于f (x ) . 【答案】取目标函数 约束条件为 对L 求偏导数，令它们等于0, 则有 解方程组易得稳定点是 为了判断把目标函数 看作与 是否为所求条件极值，可把条件 的复合函数 第 4 页，共 25 页 。拉格朗日函数为 看作隐函数并 于是
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