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一、计算题

1． 设总体X 的概率密度为如下样本值:

求的矩的估计值和最大似然估计值. 【答案】因为所以（1） 令

, 所以的矩估计值为

（2）现在求最大似然估计值. 在给定的8个样本值中, 属于

的有5个, 属于

的有3个, 所以似然函数为

取自然对数得

两边对求导得

故

的最大似然估计值为

于是

,

其中

是未知参数, 利用总体X 的

2． 将3个乒乓球放入4个杯子中, 求杯子中球的最大个数为1, 2, 3的概率.

【答案】设事件

表示“杯中球的最多个数为”, 3个球放入4个杯子中共有

种,

即

中不同方法,

表示“4个杯子中有3个杯子各有一球”, 则不同放法共有

表示“4个杯子中有一个杯子有2个球, 有个杯子有1个球”,

则共有种不同放法, 即

中放法,

；

表示“3个球都放入了一个杯子中”, 则共有即

3． 设A , B 为两事件，

【答案】由条件概率的性质知

.

其中.

，而

4． 一仪器同时收到50个信号，其中第i 个信号的长度为

设

是相互独立的，且都服从

内的均匀分布，试求所以

. 代回原式，可得

【答案】因先

利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得

这表明:50个信号长度之和超过300的概率近似为

5． 已知随机变量X 与Y 的相关系数为均为非零常数.

【答案】先计算然后计算

与

与

的方差与协方差

.

的相关系数

.

所以当a 与c 同号时

而当a 与c 异号时

6． 设总体本

其中

，总体

，从总体X 抽取样本

都是已知常数，求检验统计量与拒绝域.

与

的相关系数，其中a , b , c , d

求

，从总体Y 抽取样

，两样本独立，考虑如下假设检验问题

【答案】以记由此

分别表示来自两个总体的样本均值，

，由所给条件，有

分别为其样本方差，

在原假设成立时，

又

且二者独立，故

由此，在原假设成立时，检验统计量

若取显著性水平为a ，检验拒绝域为

7． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.

【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题. 由题设条件查表知

，

即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为

8． 已知

【答案】

求

.

于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为

，

•

，现抽取了一个容量

试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95

二、证明题

9． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记

因为

且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得