2017年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 方程
【答案】将已知方程整理成
所以此方程表示以（1，﹣2，﹣1）为球心，以
2． 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数
；
【答案】（1）应用隐函数的求导方法，得得
（2）应用隐函数的求导方法，得于是
（3）应用隐函数的求导方法，得
于是
（4）应用隐函数的求导方法，得于是
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表示什么曲面?
为半径的球面.
，于是在上式两端再对x 求导，
3． 设闭区域D 是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成，求证
【答案】
令
依次与
应的闭区域
的边界（图）. 于是
，
，
则
，在此变换下，D 的边
界
对应。. 后者构成
平面上与D 对
图
又
因此有
4． 一球形行星的半径为R ，其质量为M ，其密度呈球对称分布，并向着球心线性增加。若行星表面的密度为零，则行星中心的密度是多少?
【答案】设行星中心的密度为脚，则由题设，在距球心r （0≤r ≤R ）处的密度为
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。
由于，故，即
于是
因此
5． 问函数
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
, 得驻点
（舍去）,
, 比较
处取得最大值, 且最大值为
在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
得函数在
6． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于
所以总成本函数
（2）总产量为50件，即则
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（万元/件）与
和，所以可得
，即
，故代入求得
。
。
。
，将代入到C （x ，y ）中