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一、证明题

1． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

由此知, 若又因为

由此知, 若于是

2． 若级数

证明级数【答案】

由

收敛,

由比较原则得正项级数如如果取 3． 证明:

对

成立.

这样就将问题转化为求令

解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且

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【答案】设正项级数的部分和分别是.

收敛, 则有上界, 从而, 有上界, 即有上界, 因此收敛.

收敛, 则有上界, 故也收敛.

与与

同时收敛, 同时发散. 都收敛, 且成立不等式

也收敛. 若

可得

收敛, 从而满足不等式且

与发散.

,

都发散, 试问

一定发散吗？

与

,

. 都收敛, 故正项级数都发散. 收敛.

未必发散.

又级数收敛. 若

均发散, 但

为发散的正项级数, 则必有

【答案】将原不等式变形为

在区域

上的最大值.

注意到, 和,

,

所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为

; 可得驻点

.

此时f （0, 0）=0, . 因此, f （x , y ）在y=0上的

, 即

同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为

. 综上, f （x , y）在D 上的最大值为

二、解答题

4． 方程

【答案】令②F （0, 0）=0;

③④

5． 求不定积分

【答案】

6． 设

（2）证明E （k ）满足方程【答案】（1）

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能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f（x ）或x=g（y ）?

, 则有

①F （x , y ）在原点的某邻域内连续；

均在上述邻域内连续；

在原点的某邻域内可确定隐函数y=f（x ）.

故由隐函数存在惟一性定理知, 方程

其中0＜k ＜l （这两个积分称为完全椭圆积分）.

（1）试求E （k ）与F （k ）的导数, 并以E （k ）与F （k ）表示它们;

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易证

故有

即

（2）对（1）中①式求k 的导数后, 再将①式代入得

由①, ②有

代入上式后得

7． f （x ）在有界实数集E 上一致连续的充要条件是把E 中的柯西列变为R 中的柯西列.

【答案】只要从而有

,

. 当n , mN

时, 有

是柯西列.

.

对

.

.

是E 中的柯西列,

却发散, 不是柯西列.

与

的连续性, 设

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①

②

若f 在E 上一致连续,

则

, 就有

这表明

设{xn }是E 中任一柯西列, 对上述

假设f （x ）在

E 上非一致连续, 则尽管注意到即但

8． 讨论复合函数

与此相对应的

, 但

也有一个子列

相应地存在

和

,

是有界数列,

由致密性定理, 它存在收敛子列