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一、证明题

1． 设

其中f 为可微函数，证明：

【答案】设

则

所以

2． 证明:若

【答案】(1)

(2) 由(1) 的运算可得

3． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：

(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.

(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以

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为包围区域V 的曲面的外侧，则

时，ax 是无理数.

也是有理数. 这与x 是无理数矛

是有理数. 这与x 是

【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么

无理数矛盾. 故ax 是无理数. 4． 1) 设

(1) (2) 若

则

证明：

(又问由此等式能否反过来推出

) ；

2) 应用上题的结论证明下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 若

(8) 若

【答案】(1)

因为

于是当

则则时，有

其中

的

存在正整数

使得当

时，有

取

则当

时，有

故

由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由

有

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所以对于任意

的

存在正整

数

当

时，

有

又因为所以对上面

例如

可得

如果a>0, 那么

但不收敛.

由平均值不等式

由1)(1) 的结论可得

再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为

(2) 令

(3) 令

所以

则

如果a=0, 则

综上所述，有

由第1)(2) 题知，

则

由第1(2) 题知，

(4) 令

则

由第1)(2) 题知，

) .

(5) 令

则

由第1)(2) 题知，

因而

(6) 令

则

由第3(1) 题得知，

(7) 补充定

义

令

则

由

知

因

为

所

以

且

由第1)(2) 题得

(8) 令

则

由第1)(1) 题知，

二、解答题

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