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一、计算题

1． 将下列函数展开成x-1的幂级数，并求展开式成立的区间：

【答案】（1）当

时，因

而

在以上二项展开式中取

并用x-1替换其中的x ，得

（2）

利用

将上式中的x 换成x-1，得

2． 已知函数序列

（1）问（2）证明

取多大，能使当

在

在任一有效区间[a, b]上一致收敛。

，因此对于正数ε，取

则

故

取

当

时，对一切

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上收敛于0.

时，与其极限之差的绝对值小于正数ε？

【答案】（1）由于当

就有（2）记

则

于是

都有

即

3．

求函数向的方向导数。

【答案】因为

所以

4． 求函数

【答案】因为

,

故

, 其中介于x 与-1之间。

5． 计算二重积分

【答案】

令

，得

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在上一致收敛于0.

在点

处沿方向角为的方

的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。

，其中区域D 由曲线

与极轴围成.

6． 用根值审敛法判定下列级数的收敛性:

其中

【答案】（1）因（2）因（3）因（4）

①当ba时，因

则

故级数收敛。 ，故级数发散。

均为正数。 故级数收敛。 故级数收敛。 故级数收敛。

③当b=a时，级数的收敛性不能确定（例如

，

收敛）。

7． 求函数

在球面

上点

发散，

又如

处，沿球面在

该点的外法线方向的方向导数。

【答案】

设

处的外法线方向向量可取为

的方向余弦为

又

，

则

，

于是球面在

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