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一、计算题

1． 某种产品上的缺陷数X 服从下列分布列

：均缺陷数.

【答案】由题意知Y=X+1可看作服从几何分布Ge （1/2）的随机变量，所以E （Y ）=2，由此得E （X ）=E（Y ）-1=1.

2． 在一本书上我们随机地检查了10页, 发现每页上的错误数为

试计算其样本均值、样本方差和样本标准差. 【答案】样本均值

样本标准差

3． 设随机变量X 的分布为均匀分布

求:

的分布函数；求期望

【答案】（1）分布函数

当y ＜0时，当

时，

；当

时

，

当

时，

在给定

的条件下，随机变量:

服从

样本方差

求此种产品上的平

故分布函数为

（2）概率密度函数为，

则

4． 设曲线函数形式为给出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

5． 设

和

问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试则变换后的函数形式为v=a+bu. 分别来自总体

和

的两个独立样本.

试求

的最大似然估计.

【答案】合样本的似然函数为

对数似然函数为

将对数似然函数对

分别求导并令其为0, 得

由此得到

的最大似然估计为

6． 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:

【答案】（1）随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如构成n

个数对记

以

记满足不等式

平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算

, 最后得的估计值为

）,

的次数,

则然后对每个

计

（2）对于第二个积分先将其化成区间上的积分. 令

»

则此时有

•）, 构成n 个数

以

记满足不等式

的次数, 则

然后对每个计

其中对

随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如

平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算

最后得J 的估计值为

7． 设

是来自几何分布的样本，总体分布列为

θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；

（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为

于是

因此，θ的后验分布为

（2）当有观测值为4, 3, 1，6时，θ的后验分布为Be （5, 15）, 若采用后验期望估计，

则有

8． 设随机变量X , Y 独立同分布, 在以下情况下求随机变量

（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布• （2）X 服从几何分布, 即

【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1, 所以1, 因此

（2）因为X 服从几何分布, 所以由此得

的分布列.

的可能取值也为0或