2017年曲阜师范大学统计学院750数学分析A考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设那么
2． 若在
证明：若对任何正数
那么
有
设
则a=b.
则
取
因为
【答案】用反证法. 假设
不成立. 这与题设矛盾，故a=b. 上连续可微，则存在
上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得
上连续可微，所以
在上连续. 令
【答案】因为
在
因此
，
与
取
在并且
上连续，从而是可积的
且是増函数，
是减函数。
所
以
3． 设f (x ) 在[0, 2]上二次可微，且
证明：【答案】
二、解答题
4． 计算下列反常积分的值：
【答案】
（4）令
则
由（3）的结论得
5． 设f (u ) 是可微函数
【答案】故
6． 计算曲线积分
其中L 是从点(a ，0, 0) 沿着以下曲线到点(0, 0, c ) 的路径：
【答案】方法一(用参数方程求解) 从
中解出
令
则
由于
并注意到椭圆心在
处，所以
故
方法二(选取z 作为参数) 曲线L 的参数方程为
于是有
代入椭球面方程整理可得
试求
方法三(用斯托克斯公式求解) 由于空间曲线L 不是闭曲线，所以补充直线段闭曲线，其中
是从点(0, 0, c ) 沿直线
使得
为
到点(a ，0, 0) 的直线段. 由斯托克斯公式，有
其中S 是由所围的有限部分.
注意到S 在xOy 平面、yOz 平面以及zOx 平面的投影分别为
及
所以
7． 应用中值定理估计积分
【答案】由于在
使得
从而
8． 求螺旋线
【答案】
对轴的转动惯量，设曲线密度为
的值.
上连续，据中值定理知：存