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一、证明题

1． (1) 证明：若

(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有

从而有

由

根据第(1) 题知：

2． 设

【答案】由

证明：级数

收敛.

收敛可知

收敛，

所以

收敛，且存在极限上可导，且存在，若

因

与

设故则

都收敛，则对

发散，于是

存在M ，使得当

时，

也发散. 这

与已知条件矛盾，故有

(2)

设

知，当n 充分大时有

所以级数收敛. 由条件

知 3． 1) 设

(1) (2) 若

与有相同的敛散性，从而证明：

收敛.

(又问由此等式能否反过来推出

则

) ；

2) 应用上题的结论证明下列各题： (1) (2) (3) (4) (5) (6)

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(7) 若

(8) 若

【答案】(1)

因为

于是当

则则时，有

所以对于任意

的

存在正整

数

当

时，

有

其中

的

存在正整数

使得当

时，有

取

则当

时，有

故

由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由

有

由1)(1) 的结论可得

再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为

(2) 令

(3) 令

所以

则

如果a=0, 则

综上所述，有

由第1)(2) 题知，

则

由第1(2) 题知，

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又因为所以对上面

例如

可得

如果a>0, 那么

但不收敛.

由平均值不等式

且

(4) 令

则

由第1)(2) 题知，

) .

(5) 令

则

由第1)(2) 题知，

因而

(6) 令

则

由第3(1) 题得知，

(7) 补充定

义

令

则

由

知

因

为

所

以

由第1)(2) 题得

(8) 令

则

由第1)(1) 题知，

二、解答题

4． 应用

【答案】在任何

内一致收敛

.

所以

则

5． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】设

是

的原函数，且

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