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一、计算题

1． 已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表1和表2，试回答下列问题。

表1 表

2

（l ）从（2）从再写出其他两种。

的单位运价c 22在什么范围变化时，上述最优调运方案不变?

的单位运价c 24变为何值时，有无穷多最优调运方案? 除表30中方案外，至少

【答案】（l ）因为，当以单位运价表计算的基变量检验数为0，且非基变量检验数为非负时，调运方案不变。所以，假设c 22未知，对表1中的最优调运方案，利用位势法计算非基变量的检验数，如表3所示。

表

3

要使所有非基变量的检验数非负，则应满足条件

计算得，当

时，表30给出的最优方案不变。

（2）当存在某非基变量的检验数为0时，有无穷多最优解。假设c 24未知，利用位势法计算所有非基变量的检验数，如表4所示。

表

4

由所示。

可得，所以当c 24变为17时，此问题有无穷多最优调运方案。以（A 2，B 4）

为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方案，如表5，6

表5 表

6

2． 设某人有400万元资金，计划在四年内全部用到投资中去。已知在一年内若投资用去x 万元，就能获得最大。

（l ）用动态规划方法求解; （2）用拉格朗日乘数法求解;

（3）比较两种解法，并说明动态规划方法有哪些优点。 【答案】（l ）用动态规划方法解。

将问题划分为四个阶段k=1，2，3，4; 设状态变量s k 为第k 年年初可供投资金额

，

; 决策变量x k 为第k 年实际用于投资的金额; 设最优值函数

年至第4年末所得到的最大效用。

该问题的递推公式为:

当k=4时，

万元的效用。每年没有用掉的金额，连同利息（年利息10%）可再用于下一年的投

资。而每年己打算用于投资的金额不计利息。试制订金额的使用计划，而使四年内获得的总效用

表示从第k

当k=3时，令所以当k=2时，令所以当k=1时，

得极大值点

所以

所以该问题的最优解为:

优值为z*=43万元。

（2）用拉格朗日乘子法求解如下。

，获得效用为设第i （i=1，2，3，4）年用于投资的金额为x i （万元）掉的金额为y j （万元）（其中y 4=0）。于是可建立数学模型

；又由题意知s 1=400，所以

=86万元，

=104万元，

=126万元

得极大值点

得极大值点

万元。 =153万元；其最

（万元），没有用

设

其中

为拉格朗日乘子

，

和y j ，求偏导数，并令其为零，即

为拉格朗日函数。分别将L

对