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一、填空题

1． 一批元件其寿命（单位:小时）服从参数为的指数分布. 系统初始先由一个元件工作, 当其损坏时立即更换一个新元件接替工作. 那么到48小时为止, 系统仅更换一个元件的概率为_____.

【答案】寿命, 依题设

所以

表示第个元件的

事件A=“第一个元件在48小时

”,

【解析】首先令事件A=“到48小时为止, 系统仅更换一个元件”, 如果用

相互独立且有相同的密度函数

之前己经损坏, 第一个、第二个元件寿命之和要超过48小时”=“

图

2． 设随机变量x 在 [-1, 6]上服从均匀分布,

若由切比雪夫不等式有b=_____；_____.

【答案】3; 2

【解析】由题设知

依题意

, 则

3． 已知随机变量

【答案】正态【解析】和,

故故

服从正态分布, 又

相互独立且都服从标准正态分布

, ,

则

服从_____分布, 参数为_____.

为相互独立正态变量

4． 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布, 则

【答案】

_____.

【解析】服从参数为1的泊松分布的概率分布为而故 5． 设

【答案】【解析】

矩估计有

, 故

是来自总体为区间

上均匀分布的X 的简单随机样本, 是样本均

值, 则未知参数的矩估计量=_____.

二、计算题

6． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-l 个位置可坐，且这n-l 个位置都. 是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为

7． 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手进行一次射击的命中率.

【答案】记事件Ai 为“第i 次射击命中目标”，i=l，2, 3, 4, 且记

由此解得

，由题设条件知

8． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.

【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意有

（1）此时有

，所以由贝叶斯公式得

（2）此时有

，所以由贝叶斯公式得

9． 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点（0, 1）, （1, 0）, （1, 1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量

【答案】三角形区域为

则随机变量X 和Y 的联合概率密度为利用随机变量函数_

期望的计算公式, 得到

则

10．设二维随机变量（x , y ）的联合密度函数为少有一个小于0.5的概率

【答案】两事件

中至少有一个发生的概率为

求X 与Y 中至

.

的方差.

X 和Y 在G 上服从均匀分布,