2018年东南大学数学系933高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 用
表示行列的元素为1, 而其余元素全为零的
那么当那么当
计算
及
时
时
当时当
时
矩阵，
且
证明:
（1）如果（2）如果【答案】
（3）如果A 与所有的n 级矩阵可交换，那么A 一定是数量矩阵，即
由
计算
得，及
由且还有故
2． 求函数
在实单位球面上：z 所取的值.
及且证得所要的结论
.
得
证得了所要的结论
.
由于对所有
及时都有
由第
小题得
是数量矩阵.
且
且A 的对角线以外的元素皆为零，即
达到最大值与最小值，并求出达到最大值与最小值时z ，y ，
【答案】由上题知
其中分别为A 的最小特征值与最大特征值，A 为二次型f 对应的矩阵，且
计算可得
当当
时，得特征向量时，得特征向量
单位化得
单位化得
.
当
时，有最大值
当
3． （1）试求将
时，有最小值
对角化的正交阵； （2）关于矩阵征向量为
再求A 属于4的单位特征向量
, 求使它对角化的正交阵.
所以
正交单位化得
令
则
求出A 属于1的线性无关特
【答案】（1）计算可得
为正交阵, 且
（2）定义
（1）
所以
其中
（2）
4． 设T , S是n 维空间V 的两个线性变换. 证明:
【答案】证法Ⅰ令于是
但因为
故由上又得
此即斯特不等式知:
故相应的有 5． 在
证法Ⅱ设T , S 在V 的某一基下的矩阵分别为A , B , 则TS 在此基下的矩阵为AB. 但由西尔维
则:
中，求向量在基
下的坐标，设 （1
）
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