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一、计算题

1． 如图1所示, 一小球的质量为m , 紧系在完全弹性的线AB 的中部, 线长21. 设线完全拉紧时张力的大小为F , 当球作水平运动时, 张力不变. 重力忽略不计. 试证明小球在水平线上的微幅振动为谐振动, 并求其周期

.

图1

【答案】

图2

取小球为研究对象, 受力分析如图2所示, 其平衡位置为坐标原点, 则小球的运动微分方程是:

又微幅振动条件下:

则运动微分方程可化为:

即为简谐振动的微分方程.

所以小球运动周期为:

2． 均质圆柱体A 和B 的质量均为m , 半径均为r , 一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上, 绳的另一端绕在圆柱B 上, 直线绳段铅垂, 如图1所示. 摩擦不计. 求:（1）圆柱体B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A 上作用一逆时针转向, 矩为M 的力偶, 试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上

.

图1

【答案】（1）分别以两轮为研究对象, 如图2（a ）所示. 由平面运动微分方程, 对A 轮可得

对B 轮可得

其中

解得

（2）如图2（b ）所示.

由平面运动微分方程, 对A 轮可得

对B 轮可得

其中

当B 的质心加速度向上时,

所以

图2

3． 击打棒球时, 有时震手, 有时不感到震手, 这是为什么？

【答案】当棒球击于球棒撞击中心且与球棒垂直时, 不震手；反之, 手握棒处有碰撞冲量, 碰撞力很大, 震手.

4． 如图1所示，斜面AB 与水平面间成45°角，以M 以匀相对加速度x=0，y=h。

求物块的绝对运动方程、运动轨迹、速度和加速度。

的加速度沿Ox 轴向右运动。物块

沿斜面滑下，斜面与物块的初速都是零。物块的初位置为:坐标

图1

【答案】以M 为动点，AB 为动系。绝对运动为曲线运动，相对运动为直线运动，牵连运动为直线运动。

相对运动的运动方程为

牵连运动的运动方程为

可得绝对运动方程为

消去t 可得轨迹方程为