2017年燕山大学理学院701数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明sinx 在
【答案】对于任意的
上一致连续.
有
对任给的
在
2．
设
在
求证：至少存在一点【答案】用反证法, 如果函数因为
在
点
在使
得
这与
点.
3． 证明下列结论：
(1) 若f (x , y) 在某域G 上对x 连续，关于x 对y —致连续，则f (x ，y ) 在G 上连续； (2) 若f (X ，y ) 在某域G 上对x 连续，对y 满足利普希茨条件，即
其中
在G 上连续.
(1) 任取【答案】当
在点
有
连续. 由(2) 任
取
取
的任意性知f (x , y) 在G 上连续.
由
在
点则
当
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取
则对一切
当时，
有
故
上一致连续。
上连续，对于区
间
上没有零点，那么函数由题设条件知，
在是最小值相矛盾，所以函数
在内
存在在
上也没有零点，
，使
得
上至少有一个零
. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存
中的每一个
点
总存在
.
使
得
使得在
上连续，所以
使得
有
为常数，则f (x , y) 在G 上连续；
(3) 若f (x ，y ) 在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续，并且对其中一个变量单调，则f (x , y)
由于f (x , y) 关于x 对变量y —致连续，所以
且
连续，从而对上述并使点
时有
当
的邻域全部含在G 内，则当
又f (x ，y ) 关于x 连续，
所以时有
取时，
因此f (x ，y )
在点
连续，所
以
当
时
有
时，由利普希茨条件得
取
时
所
以
连续. 由
点连续，于是
在点取但是
所以f (x ，y ) 在点
4． 按
(1) (2) (3)
【答案】(1)
对任意
由
则当
时
.
(2) 因为
所以
对任意
由
得
取
则当故
(3) 当n 为偶数时，
当n 为奇数时，
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则
当有在
点在
的任意性知当
连续，故对上述的
则当
时有
在G 上连续.
由f (X ，y ) 对y 连续，从而
当时有
时有
又由f (x ，y ) 对x 连续，
所以
(3) 不妨设f (X ，y ) 关于y 单调. 任取
连续. 由的任意性知f (x ，y ) 在G 上连续.
定义证明：
故
时，
对任意
5． 证明：
取则当时，故
(1) 若为凸函数，为非负实数，则为凸函数； (2) 若
均为凸函数，则
为凸函数；
上凸增函数，则
为Ⅰ上凸函数。
和任意
(3) 若为区间Ⅰ上凸函数，g 为总有
两边同乘非负实数得到
即
故
为凸函数.
均为区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意
两式相加得到
即
故
为凸函数.
有
因为g
为
上的增函数，所以
又因为g 为凸函数，所以
由这两个式子可得
故
为I 上的凸函数.
(3) 由凸函数的定义知，对于任意
和任意
总有
(2) 设
【答案】(1) 设为定义在区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意
二、解答题
6． 设是不含原点的有界区域，其体积为V ，边界为光滑的闭曲面
是
上的连续可微函数，它满足微分方程
【答案】因为
的单位向量为
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是的外法线单位向量
，
求
其中E 的外法线单
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