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一、综合题

1． 设当

时(x ) , 所以

者中至多有一个在x=0连续.

2． 设f (x ) 在上可积，则

【答案】先证明事实上，由且

根据有

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

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而

从而

证明：两者中至多有一个在x=0连续.

因为

时

这与题设

矛盾. 故f 与g 两

【答案】反证法. 假设f (x ) 、g (x ) 都在x=0连续，

则

在

收敛(即法，

在

上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

有

时，

有

3． 利用级数收敛性，证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为

所以证

存在归结为

【答案】

令

证级数收敛. 因

由于

记

则

4． 设

为递减正项数列. 证明：级数

同时收敛，同时发散.

的部分和分别是

由此知，若又因为

由此知，若于是

5． 设

【答案】(1) 当A=0时，由

此即(2) 当

时，由于

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推出级数收敛，也就是存在，称为欧拉常数，若

【答案】设正项级数有

收敛，则有上界，从而有上界，即有上界，因此收敛.

收敛，则有上界，故也收敛.

与同时收敛，同时发散。

，用

，

语言证明：

当

时，有

令而

6．

设函数列

在[a，b]上可导，且存在M>0，使得对任意正整数n

和

成立. 证明：如果级数

【答案】使得

因当令不妨设

收敛，存在正整動时有

对任意正整数p 都成立当n>N时，

于是

在[a，b]上收敛，则必一致收敛.

有

则

存在

当

时，有

取正整数m 充分大，将[a，b]m等分：

从而

在[a，b]上一致收敛.

7． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且

证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.

【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记

由已知条件知

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