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2017年成都信息工程大学数学专业基础之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题

  摘要

一、计算题

1 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为一2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为一0.5. .

试根据切比雪夫不等式, 估计

【答案】因为

所以

2. 设二维离散随机变量(X , Y )的可能取值为

(0, 0), (-1, 1), (-1, 2), (1, 0),

且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12, 试求X 与Y 各自的边际分布列. 【答案】由题设条件知, (X , Y )的联合分布列为

1 的上限.

在上面表格中按行相加, 得X 的边际分布列;按列相加, 得Y 的边际分布列:

2

3

3. 掷三颗骰子,求以下事件的概率:

(1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数,则

(1)

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中有返回地任取三个,所有可能为重复排列数

中有返回地任取三个,所有可能为

这是分若记Y

母,而“最大点数小于等于5”,相当于从

(2)

4. m 个人相互传球,球从甲手中开始传出,每次传球时,传球者等可能地把球传给其余m-1个人中的任何一个. 求第n 次传球时仍由甲传出的概率.

【答案】设事件

为“第i 次传球时由甲传出”,记

所以由全概率公式

得递推公式

将P 1=1代入以上递推公式可得

特别,当譬如m=5, 则

5. 设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布,试求以下Y 的密度函数:

(1)(2)(3)(4)

时,有

【答案】X 的密度函数为

(1)因为Y 的可能取值区间为调减函数,其反函数为

,且

所以

在区间(0,1)上为严格单

的密度函数为

(2)因为Y 的可能取值区间为(1,4),且増函数,其反函数为

在区间(0,1)上为严格单调

所以Y=3X+1的密度函数为

(3)因为Y 的可能取值区间为(1,e ),且

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甶区问(0,1)上为严格单调增函

数,其反函数为且所以的密度函数为

(4)因为Y 的可能取值区间为其反函数为

所以

且在区间(0,1)上为严格单调减函数,的密度函数为

6. 一个人把六根草紧握在手中,仅露出它们的头和尾,然后随机地把六个头两两相接,六个尾也两两相接,求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.

【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环,所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况,若考虑头两两相接的前后次序,则“六个头两两相接”共有6! 种不同结果,即先从6个头中任取1个,与余下的5个头中的任1个相接;然后从未接的4个头中任取1个,与余下的3个头中的任1个相接;最后从未接的2个头中任取1个,与余下的最后1个头相接,这总共有6! 种可能接法,这是分母,而要成环则第一步从6个头中任取1个,此时余下的5个头中有1个不能相接,只可与余下的4个头中的任1个相接;第二步从未接的4个头中任取1个,与余下的2个头中的任1个相接;最后从未接的2个头中任取1个,与余下的最后1个头相接,

这总共有

种可能接法,由此得所求概率为

7. 某单位招聘员工,共有10000人报考. 假设考试成绩服从正态分布。且已知90分以上有359人,60分以下有1151人. 现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者中最低分为多少?

【答案】记X 为考试成绩,则

由频率估计概率知

上面两式可改写为

再查表得

由此解得

设被录用者中最低分为k ,则由

查表得

注:当p<0.5时,

满足等式为

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从中解得因此取被录用者中最低分为78.75分即可.

的茗在标准正态分布函数表上不易查得,故改写此式