2018年哈尔滨师范大学数学科学学院843概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为n 维随机变量，其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
2． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
，这两个常数因子的乘积为1.
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则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
相差一个常数因子，
3． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
4． 设为
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有
，
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，因而
可得
和，
其中和可表示为
这就证明了的近似置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
5． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
与
是偶函数，从而
且密度函数所以使得
是偶函数，假定
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
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置信区间可进一步简化为
的容量为
的样本中位数是
证明
的密度函数关
与
与分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
的密度函数关于对称，
6． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
证明:X 与不相关.
为证明