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一、计算题

1． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.

【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为

表

1

由此得

2． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为

诸观测值相互独立.

（1）写出的最小二乘估计，和

的无偏估计；

. ，则正规方程为

（2）对给定的，其对应的因变量均值的估计为，求【答案】 （1）由最小乘法原理，令

从中解得届的最小二乘估计为不难看出

于是，由

*

有

将

写成

的线性组合，利用

与

间的独立性，有

由此即有

:，从而

这给出

的无偏估计为

，于是

3． 如果

试证: （1）（2）

【答案】（1）因为故当即

（2）先证明使有这时有

从而有

由

的任意性知

同理可证

由上面（1）得

（2）对给定的. 对应的因变量均值的估计为

成立，进一步由对任意的

可得

所以又有

）， 时，有

成立.

取M 足够大（譬如

时，有

成立，对取定的M ，存在N ，当

即成立.

4． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.

（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？

【答案】我们先对问题作一简单分析:若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有数，则

，要检验的一对假设为

若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如

，故检验的p 值为

对此p 值作一些讨论:

（1）由于检验的p 值大于显著性水平犯第二类错误的概率如

，则

类似可算得

可见随着的増加，犯第二类错误的概率在变小. （2）我们知道，当譬如，若取

5． 随机变量

时应拒绝原假设，因此，当

时拒绝原假设，

，因为

的联合密度函数为

求:（1）常数C ;

（2）关于x 和关于y 的边缘密度函数; （3）（4）（5）（6）

的联合分布函数;

的密度函数; ;

猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次

，故应不拒绝原假设， ，对具体可算出

的值，

不能相信他具有预报未来股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，

.

，则拒绝原假设，可相信他有这种能力.

;