2018年兰州交通大学环境与市政工程学院601数学—之概率论与数理统计概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
由
由于，
因而
所以
2． 令【答案】
3． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
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与的相关系数为
表示服从二项分布
的随机变量，试证明:
的容量为的样本中位数是证明的密度函数关
与
令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为
其中可得
与分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
这表明密度函数同时还有
4． 设
证明【答案】
与
是偶函数，从而
诸
是充分统计量. 的联合密度函数为
的密度函数关于对称，
独立，是已知常数，
注意到
是已知常数，令
取
由因子分解定理，
5． 设
是
为n 维随机变量，其协方差矩阵
的充分统计量.
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得
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则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
6． 设随机变量变量.
【答案】
令
两边取对数，并将
展开为级数形式，可得
所以
的方法知结论成立.
7． 设随机变量
而
正是
的特征函数，由特征函数的唯一性定理及判断弱收敛则由X 的特征函
数
可
得
证明:当
时，随机变量
按分布收敛于标准正态
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
8． 设
证明:
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所以
因为X 与Y 相互独立，
由此得
是来自正态总体
的一个样本，若均值已知，