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一、计算题

1． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

再使用加减消去法，即可得

的无偏估计分别为

2． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命

为

样本

3． 设流经一个

的分布为

其中

.

则

与（**）两式相加与相减可得

电阻上的电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9A 至11A 之间. 试求此电阻

上消耗的平均功率，其中功率

，所以平均功率为 【答案】因为I 〜U （9，11）

4． n 个男孩，m 个女孩

随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率.

时，所求概率为

【答案】将n 个男孩看成是n 个“0”，m 个女孩看成是m 个“1”，而“任意两个女孩都不相邻”则相当于“没有两个1连在一起”，于是在

等.

譬如，

5． 有20个灯泡, 设每个灯泡的寿命服从指数分布, 其平均寿命为25天. 每次用一个灯泡, 当使用的灯泡坏了以后立即换上一个新的, 求这些灯泡总共可使用450天以上的概率.

【答案】

记

为第i 个灯泡的寿命（单位:天）

,

由林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

6． 用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示.

表1 安眠药试验数据

则

且

在显著性水平下对其进行方差分析，可以得到什么结果？

表

2

【答案】这是一个单因子方差分析的问题，根据样本数据计算，列表如下：

于是

根据以上结果进行方差分析，并继续计算得到各均方以及F 比，列于下表：

表

3

在显著性水平

，差别. 此处检验的p 值为

7． 设随机变量X 的分布为均匀分布

求Y 的分布函数；求期望

【答案】（1）分布函数

当y<0时

，当

时，

当

时

，

当

时，

在给定。

的条件下，随机变量Y 服从

下，

查表得

拒绝域为

由于

故认为因子A （安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显的

故分布函数为

（2）概率密度函数为