2017年江西财经大学数理统计(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.
n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.
2． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：
（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.
（2）因
为
而当
时，有P （AB ）达到最小值0.4.
3． 设随机变量X 的密度函数为
如果已知E （X ）=0.5，试计算【答案】因为
，联立（1）（2）解得a=6，b=-6.由此得
所以
4． 设
其中
试问
是否服从大数定律？
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所以当P （AB ）=P（A ）
所以有
为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为
【答案】因为
由柯西积分判别法知上述级数收敛, 故
存在, 所以由辛钦大数定律知
服从大数定律.
5． 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍.
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率. 【答案】记事件A 为“取到第一台车床加工的零件”，则格品
（1）用全概率公式
（2）用贝叶斯公式
6． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.
【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有
个，而事件“第一个盒子中有
种可能；第二
3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有
又记事件B 为“取到合
步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为
7． 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题. 他可以自行决定回答这两个问题的顺序. 如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题. 如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励. 问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？
【答案】记X 为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X 的分布列为
表
1
由此得E （X ）=168（元）
又记Y 为回答顺序为2，1时，所获得的奖励，则Y 的分布列为
表2
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由此得E （Y ）=176（元）
因此应该先回答问题2，可以使获得的奖励的期望值最大.
8． 设随机变量X 的密度函数为件{X≤1/2}出现的次数，试求P （Y=2）.
，其中【答案】因为Y 〜b （3，P ）
所以
以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事
二、证明题
9． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
10．设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
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个
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记