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一、选择题

1． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

是

的基础解系，

为任意常数，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

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所以因此不是的特解，从而否定A , C.但D

因此

是

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

的基础解系. 又由

则A 与B （ ）.

使

且由①式得

因此A 与B 合同. 3． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

4． 设n （n ≥3）阶矩阵

由②有

为空间的两组基，且

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

故

但当a=l时，

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

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【答案】B 【解析】

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间. 证明：

①对V 中任意向量在中都存在唯一的向量②若【答案】（于是设若于是得②因为

故

也有

从而比又因为

则

为其一标准正交

故

则

故

于是由勾股定理得

但是

故

从而

7． —堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了，把苹果分成5堆，还多一个扔了，自己拿走一堆，第二只猴子来了，又把苹果分成5堆，又多一个扔了，自己拿走一堆. 以后每只猴子来了都如此办理，问原来至少有多少苹果? 最后至少有多少个苹果？

【答案】设原来有xl 个苹果，5只猴子分得的苹果数依次为

则依题意有：

使

是子空间显然（或由定理）. 又因为W 是有限维，设

基，则对V 中任意向量

将后四个方程两端分别加4, 可解得

.

逐次往上代入得

从中解出因

再代入

互素，要使

得

为正整数，必须

且可被整除，即

（其中m 为正整数）.

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