2018年中国地质大学(武汉)珠宝学院610高等数学之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、填空题
1． 设A 是4×3矩阵.
且
【答案】2 【解析】
逆，则
有
故r （AB ）=2. 2．
设
【答案】-1 【解析
】
是
的特征向量，设对应的特征值
为
则
有
两边左乘A ,
得
是
的伴随矩阵
的特征向量，其中
则a=_____。
故
由R （B ）=3知矩阵B 可
而
•
则
=_____
即整理得
因
3．
设
【答案】【解析】因为
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故由（1）（2
）式解得
则
_____.
没有运算法则. 应当恒等变形将其化为乘积形式.
故
因为
所以
4．
行列式
【答案】12
【解析】
=_____.
二、选择题
5．
设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D. 不相似也不合同 【答案】B
【解析】AtB 均是实对称阵，
则A 与B 有关系（ ）。
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A 有特征值B 有特征值故A , B 不相似，但
A , B 的正惯性指数均为p=l，负惯性指数为0, 故A , B 合同.
6． 设A , B 均n 阶实对称矩阵，若A 与B 合同，则（
）。
A.A 与B 有相同的特征值 B.A 与B
有相同的秩
C.A 与B 有相同的特征向量
D.A 与B 有相同的行列式 【答案】B
【解析】B 项，按定义，若存在可逆矩阵C 使故有
ACD 三项，令
此时A 的特征值是1, 1, B 的特征值是1, 4;
则有
即A 与B 合同
.
则称A 与B 合同
. 因为矩阵C 可逆，
是A 的特征向量，但不是B 的特征向量；
|A|=1, |B|=4亦不相同.
7． 设A 为矩阵，下列命题中正确的是（ ）。
A. 若A 中有n 阶子式不为零，则Ax=0仅有零解 B. 若A 中有
n 阶子式不为零，则AX=b必有惟一解 C. 若A 中有m
阶子式不为零，则Ax=0
仅有零解 D. 若A 中有m 阶子式不为零，则
AX=b必有惟一解 【答案】A
【解析】A
是A 项，
因为B 项，当
有
CD 两项因
此，方
程组
矩阵，
若A 中有n 阶子式不为零，而
A 中又不存在
必只有零解.
所以
可能无解. 例如，
而
是行个未知数的齐次方程组，所以
阶子式
，
故必有
同理，若A 中有m 阶子式不为零
，
则必有
时，增广矩阵的秩有可能是
方程组无解.
说明A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以必有解. 但是否必有惟一解和有非零解，
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是否只有零解都是不确定的. 例如
时，这两项才正确.
有无穷多解，仅当