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一、证明题

1． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当X=1时

2． 设

是

上的有界连续函数，证明:对任意使得

【答案】记(1) 若存

在

使得

当

则

这表明记为上

由(2) 若存在

(3)

若存在

使得当

满足

：

使得

时，恒有

可得

这种情形可仿照(1) 证明.

. 使得而且

3． 证明下列不等式：

【答案】(1)

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则在处有

存在数列满足

分三种情况讨论.

时，恒

有

而且

是单调递增数列. 注意到

的有界性，利用单调有界定理，

存在，

即

取

由连续函

于是，有

数根的存在定理知，存在

所以有

(2)

所以有

4． 设f 为傅里叶系数，证明

【答案】因为f

为又

故

即

5． 设f 为定义在区间一致收敛于f

【答案】因为

故对任意

从而

在

取

当

时，对任意

均有

内一致收敛于f

内的任一函数，记

证明函数列

在

内

上的光滑函数，所以f (x ) 在

上有连续的导函数

上的光滑函数，且

为f 的傅里叶级数

为f 的导函数的

二、解答题

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6． 求内摆线所围图形的面积（图）。

图

【答案】所围图形的面积为

7． 设

在[0, 1]上连续，在（0, 1）内有二阶导数，且

求证： （1）函数

在

内恰有两个零点；

使得在

（见图）:

上有惟一的最小值点

（2）至少存在一点【答案】（1）函数

图

显然

，否则.

这与

矛盾. 又因为

否则由凹函数的最大值在端点达到，导致有

又因为

使得

如果

（2）令

在

有一个零点，这

矛盾. 注意到由.

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这又与

在

上连续，所以

在

矛盾. 于是使得

内有两个零点，

导致

内有三个零点，由罗尔定理，

函数

推出.