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一、选择题

1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

3． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

4． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系. 考虑到 5． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组（否则与是

的两个线性无关的解.

的一个特解，所以选C.

都是4维列向量，且4阶行列式

二、分析计算题

6． 设f （x ）为实系数多项式，证明：

①若有实系数多项式则必

②若f （x ）的首系数【答案】①若设

则

比较（3）式两端次数即知矛盾，故必f （x ） =0, 从而

若②设

则必

再比较次数知矛盾，故必g （x ）, h （x ）均为零.

若n=0, 则结论显然. 下设

为其全部根，且令

则必

其中

为实系数多项式，于是

其中

7． 设为AB 和BA 的非零特征值，证明：AB 的属于的特征子空间空间

的维数相同. 【答案】设下面证明设则于是由由

和

线性无关，则线性无关，则

故类似可证

线性无关.

故

是

的基，贝!J ,

于是

故

线性无关.

和BA 的属于的特征子

为实系数多项式.

且无实根，则存在实系数多项式g （x ）, h（x ）使

则

，h （x ）中至少有一个不是零，例如，的次数为偶数且g （x ）使

由于f （x ）无实根，虚根成对出现，故可设

8． 计算n 阶行列式