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一、计算题

1 图1所示水平圆板可绕z 轴转动. 在圆板上有一质点M 作圆周运动, 已知其速度的大小为常量, ．等于

质点M 的质量为m , 圆的半径为r , 圆心到z 轴的距离为/, 点M 在圆板上的位置由角

确

定, 如图所示. 如圆板的转动惯量为J , 并且当点M 离z 轴最远在点摩擦和空气阻力略去不计, 求圆板的角速度与角的关系

.

时, 圆板的角速度为零. 轴的

图1

【答案】如图2所示.

图2

由于外力对z 轴的矩为零, 所以系统对该轴动量矩保持不变. 当M 在其中, 因为

所以

时,

当M 转过角时,

2． 甲乙两人重量相同, 沿绕过无重滑轮的细绳, 由静止起同时向上爬升, 如图. 如甲比乙更努力上爬, 问:

（1）谁先到达上端？

（2）谁的动能大？ （3）谁做的功多？

（4）如何对甲、乙两人分别应用动能定理？

图

【答案】（1）两人同时到达顶端；（2）两者动能一样大；（3）甲做的功多；（4）由于绳的张力相等, 故绳对甲、乙两人运用动能定理的方式相同.

3． 如图1所示，一飞轮绕固定轴O 转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的交角恒为60°。当运动开始时，其转角度与转角的关系。

等于零，角速度为

求飞轮的转动方程以及角速

图1

【答案】如图2所示，由已知条件可知

再由已知条件可得积分得由即两边积分

得即

图2

4． 滑块A 与两根完全相同的弹簧相连，滑块又铰接一单摆，如图（a ）所示. 设滑块A 质量为沿光滑水平面运动，两根弹簧刚性系数均为k. 单摆摆长为1，摆锤B 的质量为系统在静平衡位置时弹簧为原长. 试列出系统的运动微分方程

.

不计摆杆质量.

图

【答案】取滑块和单摆所组成的系统为研究对象. 它受到弹性力，滑块A 和摆锤B 重力、弹簧弹力等有势力作用. 如图（b ）所示.

系统有两个自由度. 取滑块A 的水平位移和单摆的转角为广义坐标，取系统静平衡位置为坐标原点. 则系统的动能为

由运动学知识知，

代入上式得

取静平衡位置为零势能位置，则系统的势能为

拉格朗日函数为