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一、分析计算题

1． 计算

其中

【答案】因为

则

故

这里

2． 如果排列

【答案】 3． 设

的逆序数为k , 排列

都是线性空间V 的子空间，

即可. 事实上，因为

.

所以有

因为

所

证明：

所以

的逆序数是多少？

【答案】只要证明

以

从而有

由式（1）、式（2）知

因此

又

4． 多项式

【答案】计算结式

，结合已知得所以是直和. 从而

在取何值时有公共根？

将它的第3, 4, 5, 6列各减去它们前面的列的适当倍数，则可变为

故当

5． 设A 是一个n 级复矩阵^n 是

的k 重根，则【答案】设

其中

互不相同，

（1）先证必要性. 设A 相似于对角阵，即存在可逆阵

则

使

且

时，

有公共根.

是A 的特征多项式，求证：A 可对角化的充分必要条件是如果的秩等于

所以秩类似可证

（2）再证充分性. 由于

因此在在在

的基础解系所含向量为中有

个

且T 为可逆阵，而

故A 可对角化. 注本题是证明：

6． 设交基，其中：

【答案】先证则得再对

再单位化，即得w 的一标准正交基：

7． 设

是线性变换，如果

，证明：

【答案】对k 作数学归纳法，k=2时，

那么

中，有个线性无关的特征向量为

个线性无关的特征向量为

中有个线性无关的特征向量为

而且不同特征值的特征向量又线性无关，令

此即

是5维欧氏空间V 的一个标准正交基，求子空间

线性无关：设若

故

正交化，得

从而

的一个标准正

线性无关.