2017年曲阜师范大学自动化研究所750数学分析A考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为傅里叶系数，证明
【答案】因为f
为又
故
即
2． 证明sinx 在
【答案】对于任意的
上一致连续.
有
对任给的
在
3． 试证明
【答案】令
则
于是原不等式左边变为
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上的光滑函数，且为f 的傅里叶级数为f 的导函数的
上的光滑函数，所以f (x ) 在上有连续的导函数
取
则对一切
当时，
有
故
上一致连续。
(应用了赫尔德不等式
)
二、解答题
4． 1) 试求三角多项式
的傅里叶级数展开式. 2) 设f 为
【答案】当
时，积分
取最小值，且最小值为
上述答:1) 因
是第1) 题中的三角多项式是以
为它的傅里叶系数.
) 上展开为傅里叶级数，
所以在
上有
的傅里叶展开为
即其傅里叶级展开是其自身. 2) 依题意
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上可积函数为f 的傅里叶系数，试
为周期的光滑函数，所以可在
其中
所以
由上式可得，当且仅当且最小值为
5． 求由抛物线
【答案】
因为
面积为
其中
所以
6． 求下列幂级数的收敛半径及其和函数
.
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时积分•取最小值，
与直线所围图形的面积. 的交点为
与
所以由这两条曲线所围图形的