2018年后勤工程学院应用数学801数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】令在又有
内可导,
, 故由柯西中值定理, 存在
, 证明存在
. 使得, 则
在, 于是当, 使得
2． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为
从而
所以, f （x , y）在点（0, 0）连续. 由偏导数定义知
同理但当
时, 其值为0. 所以,
收敛, 且数列
单调, 则
3． 证明:若正项级数
所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.
考察
由于当
时,
其值为
不存在, 故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.
, 存在N , 当n>N时, 有
故
从而
又从而
第 2 页，共 29 页
. 上连续,
时, , 即
与
不同时为零.
【答案】因为正项级数又由
单调可知
收敛. 故由柯西收敛准则, 任意的正数
发散）, 从而
必单调递减（否则级数
, 故
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
4． 证明:函数
【答案】因为
又
由
在
及故
上连续, 且有连续的导函数. 在
上一致收敛
.
在
上连续.
上连续（n=1, 2,
…）, 故
在
上连续可知, 则由定理可知
一致收敛且和函数连续. 设
即f （x ）连续且具有连续的导函数.
二、计算题
5． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点
, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4
,
【答案】对曲线上任意一点（
x , y , z ）, 有设曲线在即
处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有
解之得
或
,
, 即
由极限的局部保号性知, 从而f （x ）k ; 当取
根据连续函数介值性定理, 对
7．
求下列函数的极值点:
（1）（2）（3）
【答案】（1）解方程组
得稳定点（a ，a ）, （0, 0），
第 3 页，
共
29 页
2
3
所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或
6． 若f （x ）在
[a,
b]上连续, 且
则在（a , b ）内至少有一点使得【答案】不妨设
, 当
时有, 则
. 时有
, 从而f （X ） 因为f （X ）在 , 上连续, . , 使得 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 由于 所以（a ，a ）为极大值点， 所以（0, 0）不是极值点， （2）由 得稳定点（1，0）， 故函数f （x ，y ）在点（1，0）取得极小值• （3）解方程组 得稳定点:由于 所以 为极小值点. 8． 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积: （1）心形线（2）双纽线【答案】 （1） （2） 9． 设函数 则存在 在含有 使得 有 的某个开区间内二次可导, 且 【答案】由Taylor 定理得, 对 第 4 页，共 29 页