2017年青岛大学经济学院852概率论及数理统计(2)考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
的样本, 证明
是来自几何分布
是充分统计量.
其分布列为
在给定T=t后, 对任意的一个样本
, 有
【答案】由几何分布性质知,
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
统计量的真实含义.
2． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
其
中
为样本的次序统计量. 试证
明,
【答案】令
服从自由度为2的（1）, 则
分布
的联合密度为
作变换
其雅可比（Jacobi ）行列式为合密度我们可以知道
的联合密度为
从而
由该联
是独立同分布的随机变量, 且
这是指数分布就证明了
3． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
的分布函数, 我们知道
,
就是
也就是
. 这
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
4． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知,
所以
, 由因子分解定理,
,
是的充分统计量•
, 且X 与Y 相互独立, 令
（3）由（2）
知
由此得
5． 证明:容量为2的样本
【答案】
因为X 与Y 相互独立, 所
以
的方差为
6． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面，
这就证明了
对一切的
存在，
7． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.