2017年内蒙古工业大学理学院805概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设由
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
2 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即
即
3． 证明
：
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
4． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为
, 所以
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，则这说明
的无偏估计，故其差
是0的无偏估计，
且
则
由判断准则知
令则的逆变换为此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
5． 设
是总体
的简单随机样本，
记
（I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ）
的无偏估计量； 时，求DT 。
故T 是
的无偏估计量。（II ）当
6． 设变量序列
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
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时，
, 试证:随机
【答案】
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
7． 设
是来自
则当n 充分大时,
有不服从大数定律. 的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
,
这与前面推出的
, 由此得
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
8． 设
【答案】若
, 证明:服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
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