2017年西安建筑科技大学理学院818高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设n （n ≥3）阶矩阵 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D. 故 第 2 页，共 39 页 【答案】B 【解析】 但当a=l时， 3． 设 其中A 可逆，则=（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A 【答案】A 【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有 B （E-A ）=E. 又C （E-A ）=A，故 （B-C ）（E-A ）=E-A. 结合E-A 可逆，得B-C=E. 5． 设 则A 与B （ ）. A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 使 第 3 页，共 39 页 . ） 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 6． 设V 是一个n 维欧氏空间，它的内积为 （1）证明 是V 上线性函数； 的映射： 是V 到 的一个同构映射. （在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间） 【答案】（1）易证是V 上线性函数， 即（2）现在令映射为 下面逐步证明是线性空间的同构. ①是单射. 即证明当对故这样 于是 即有 因此 令 是V 的一组标准正交基， 令 则对所有 故对所有 有 即 故又故 以上证明了 是线性空间V 到 的同构. 第 4 页，共 39 页 对V 中确定的向量 定义V 上一个函数 （2）证明V 到 时有 ②是满射. 取是它们的对偶基， 对 ③是线性映射. 对