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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 3． 设次型.

A. B. C. D.

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

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则线性方程组（ ）•

则当（ ）时，此时二次型为正定二

【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似

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不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则也不是线性变换，

比如给

则A 与B （ ）.

C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3，3，0；而

二、分析计算题

6．

【

通常称为

答

的距离，证明：

案

7． 设S 是非零的反对称实矩阵，则

（1）

（2）设A 是正定阵，则【答案】（1）有正交阵T 使

】

于是

最后的不等号是由于非零. 于是

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至少有一个

S 是反对称，则

仍反对称，且

（2）A 正定，于是有可逆实矩阵C 使