2017年西安科技大学计算机科学与技术学院804高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
2．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D
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使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
则线性方程组（ ）•
【解析】
二、分析计算题
6． 设向量组明
【答案】假设由若
所以由①
式知
又因为可由因此，
线性无关.
7． 设A 是一
矩阵，且秩
证明：存在一
可逆矩阵P 使
的后
行全为零.
线性表出，所以也可由
线性表出，与题没矛盾，
I
线性无关，向量可由它线性表示，而向量不能由它线性表示. 证
线性无关.
线性相关，则存在一组不全为零的数
线性无关知
而
不全为。从而丨
使
线性相关，矛盾].
【答案】方法1设A 的行向量组的极大线性无关组由第无关组，设某个第j 行，
j
则将第j 行减去第1行的倍，减去
零. 每个第j 行，为零.
行组成，则可用几次互
换两行的变换分别将它们移到第1，2, …，r 行上，不妨设A 的前r 行就组成行向量组的极大线性
是第1行的U 音，第2行的倍，…，第r 行的倍的和， 第2行的倍，…，减去第r 行的倍，结果这一行成为都进行上述的初等行变换. 则A 的第
行全变
上述所有初等行变换的乘积相当于用某个可逆阵P 左乘A ，即存在可逆阵P 使
则再用零，故
右乘上述矩阵，相当于对它进行一系列初等列变换，其结果是后面的后面
行全为零.
用
右乘上行仍保持为
Q 使PAQ 成为标准形，方法2秩A 为r , 则有可逆阵P ，即
述矩阵，如方法1中所证的一样，仍使结果保持后n-r 行为零. 即
的后n-r 行全为零.
8． 证明:多项式
两两互素的充要条件是，存在多项式
使
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