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一、证明题

1． 证明

在

上一致连续.

, 由, 任取

,

且

在

, 设

, 则有

由

故f （x ）在

2． 证明:若是闭区间.

【答案】若f 在D 上不恒为常数. f 在D 上有界且能取得最大值、最小值, 分别设为M , m 则

且下证任给

3． 设f , g :

（1）（2）

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【答案】（1）证法一:

定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对

对任给的知, f （x ）在

（2）证法二:设

,

可取

,

只要

在[0, 1]上连续, 据一致连续, 有

,

就有

上一致连续.

由定义

上一致连续, 综上, 可知

, 得于是, 取上一致连续.

, 则当

时, 有

:是有界闭域, f 为D 上连续函数, 且f 不是常数函数, 则f （D ）不仅有界, 而且

即

由介值定理,

必存在

使

从而

,

故

于是

,

, 且当b = 0时可逆;

, 证明:

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

等价于

. 利用不等式, 有

所以

, .

则. 所以对

这表明

, 当

, 即b=0时可逆.

时, 有

即

故

4． 设f 为

【答案】令令a=0, 得

.

上以p 为周期的连续周期函数, 证明对任何实数a , 恒有

, 则,

故有

从而F （a ）=c（常数）,

5． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知（2）若显然

，

使

下面证明上面条件为充分条件，

在[0, 1]上连续,

，使

故 6． 设

在

上单调增加,

不成立, 那么显然

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与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

证明:

.

显然M 是非空的, 下证

【答案】设用反证法, 假设

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不妨设

是连续函数,

则对于任意的

于是

则对

存在

使得

由于

与单调性矛盾, 因此假设不成立.

即证得

7．

用定义证明下列极限:

（1

）（2

）若

（3）对黎曼函数

有

【答案】（1）设x>0,

对

（当

因为

取

,

则当x>X时有

即

（2）对

, 由. , 于是有

取

（3）设限个有理数

, 使得

, 对

, 因为满足,

因而可取

的正整数q 只有有限个, 从而在[0, 1]中至多只有有, 使得

内不含上述有限个有理数, 于是当, 从而

（当

, 1时考虑

,

则当

时

, 有

, 从而有

,

故

, 则

, 当

时有

. 假设

时考虑单侧极限）.

, 则

'

时, 不论x 是有理数还是无理数, 都有

0的右去心邻域和1的左去心邻域）.

二、解答题

8． 设

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