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一、证明题

1． 设

【答案】要证即只要证因

故

证明只要证

即证

因此只要证由由这表明

2． 设f （x ）是

使得

【答案】记（1）若存

在

则

这表明为上L.

由

（2）若存在

, 使得当

时, 恒有

, 可得

. 这种情形可仿照（1）证明.

, 而且

是单调递增数列. 注意到f （x ）的有界性, 利用单调有界定理,

存在, 记

, 使得

当

分三种情况讨论.

时, 恒

有

,

即

.

取

知,

即只要证知,

单调增加, 假如因此

；

有上界, 则矛盾.

满足

,

必有极限a ,

单调增加、没有上界, 因此

.. 上的有界连续函数, 证明:对任意T0, 存在数列

（3）若存在于是, 有

满足:

, 使得

. 使得

, 而且

. .

由连续函数根的存在定理知, 存在

二、解答题

3． 计算曲线积分

和点【答案】

4． （1）求

（2）求（3）求【答案】（1

）以任意相乘, 记

则有

其中

即得

其中和为连续函数; AMB

为连接点

的任何路线, 但与直线段AB 围成已知大小为S 的面积.

在x=0点的幂级数展开式;

的和; 的和.

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可

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（2）对

展开的幂级数, 用阿贝尔引理得

（3）

5． 计算下列引力:（1）均匀薄片量的引力; （2）均匀柱体

,

, z=0, 对于轴上一点（0, 0, c ）, （c>0）处的单位质,

（c>h）处的单位质量的引力

; （3）对于点P （0, 0

, c

）

均匀密度的正圆锥体（高h , 底半径R ）对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力

.

【答案】

（1

）设物体密度为u , 由对称性

, 引力必在Z 轴方向上因此.

故

（2）设物体密度为, 则由对称性知

下求

故

其中k

为引力系数.

（3）设物体密度为, 由对称性知

, 只需求设顶点坐标为（0, 0, h ）,

由柱坐标变换（正圆锥体V 在xOy 面投影区域D :

）.

则引力为

, 其中k 为引力系数.