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一、计算题

1． 设二维随机变量

在矩形

上服从均匀分布，记

求U 和V 的相关系数.

【答案】因为区域G 的面积为2, 所以

的联合密度函数为

因此（如图）

图

这说明:

所以

又因为

所以U 和V 的相关系数为

2． 设总体无偏估计.

【答案】由于总体

这给出

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是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 使为的

于是

若要使

为的无偏估计，即

3． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值

（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】 （1）此处

，的

置信区间为

从而的置信水平为0.95的置信区间（2）当未知时，的查表得

置信区间为

，因而的置信水平为0.99的置信区间为

，查表知

，

，样本标准差

.

这给出

（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；

4． —个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.

【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有

种不同结果，即先

从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法，由此得所求概率为

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5． 设总体X 的密度函数为

为容量为5的取自此总体的次序统计量，试证

【答案】

先求

的联合密度为

下求

的联合密度，为此，令

其雅可比行列式的绝对值为

由

得

于是

另外，我们还可以求出边际密度，

类似可求得

显然

这就证明了

与

独立.

的联合密度. 由于总体X

的分布函数为

与

相互独立.

所以

6． 盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P （X=Y）.

【答案】

7． 某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股. 假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股. 而理财顾问给他的建议是:若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买. 试问理财顾问的建议是否正确? 为什么？

【答案】如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股. 记X 为一年后所拥右的股票市值X 的分布列为

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