2018年厦门大学统计系868概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为而
所以当
的特征函数为
时，
则
正是泊松分布的特征函数，故得证.
2． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立.
若
其中
常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
时有
服从参数
的柯西分布.
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
3． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
的特征函数为
的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
.
，移项即得结论.
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
则
又故 即证
5． 设
则
是
的无偏估计量.
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
为总体的样本,
4． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
6．
设明:
由
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律.
否则令
因为
并讨论
为绝对收敛级数.
令即可.
证
【答案】不妨设
知
又因为故有
为绝对收敛级数，可记
所以由马尔可夫大数定律知
7． 对任意的事件A , B ，C , 证明:
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
8． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
为的任一
9
.
服从大数定律.
二、计算题
9． 在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强度（主要质量指标）的影响.
为了比较
与
的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位:N ）:
表